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已知曲線C：xy=1
（1）將曲線C繞坐標原點逆時針旋轉45°后，求得到的曲線C′的方程；
（2）求曲線C的焦點坐標和漸近線方程．
分析：（1）由題設條件求出旋轉矩陣M=
cos45°-sin45°
sin45°cos45°
，經過TM變換后
x 
y 
→
x′ 
y′ 
=
2
2
-
2
2
2
2
2
2
 
x 
y 
，代入曲線C的方程得y′2-x′2=2，從而求出所求；
（2）由（1）知，只須把曲線y2-x2=2的焦點、漸近線繞坐標原點順時針旋轉45°后，即可得到曲線C的焦點坐標和漸近線方程．
解答：解  （1）由題設條件，M=
cos45°-sin45°
sin45°cos45°
=
2
2
-
2
2
2
2
2
2
，
TM：
x 
y 
→
x′ 
y′ 
=
2
2
-
2
2
2
2
2
2
x 
y 
=
2
2
x		-
2
2
2
x
2
+
2
2
，即有
x′=
2
2
x-
2
2
y
y′=
2
2
x+
2
2
y
，
解得
x=
2
2
(x′+y′)
y=
2
2
(y′-x′)
，代入曲線C的方程為y′2-x′2=2．
所以將曲線C繞坐標原點逆時針旋轉45°后，得到的曲線是y2-x2=2．…（5分）
（2）由（1）知，只須把曲線y2-x2=2的焦點、漸近線繞坐標原點順時針旋轉45°后，即可得到曲線C的焦點坐標和漸近線方程．
曲線y2-x2=2的焦點坐標是（0，-2），（0，2），漸近線方程x±y=0，
變換矩陣N=
cos(-45°)-sin(-45°)
sin(-45°)cos(-45°)
=
2
2
2
2
-
2
2
2
2
，
2
2
2
2
-
2
2
2
2
0 
-2 
=
-
2
 
-
2
 
，
2
2
2
2
-
2
2
2
2
0 
2 
=
2
 
2
 
，
即曲線C的焦點坐標是（-
2
，-
2
），（
2
，
2
）．而把直線x±y=0要原點順時針旋轉45°恰為y軸與x軸，因此曲線C的漸近線方程為x=0和y=0．…（10分）
點評：本題主要考查了矩陣的應用，同時考查了旋轉變換和雙曲線的性質，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知曲線C：xy=1，過C上一點An（xn，yn）作一斜率為kn=-
1
xn+2
的直線交曲線C于另一點An+1（xn+1，yn+1），點列An（n=1，2，3，…）的橫坐標構成數列{xn}，其中x1=
11
7
．
（1）求xn與xn+1的關系式；
（2）求證：{
1
xn-2
+
1
3
}是等比數列；
（3）求證：（-1）x1+（-1）2x2+（-1）3x3+…+（-1）nxn＜1（n∈N，n≥1）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知曲線C：xy=1，過C上一點A1（x1，y1）作斜率k1的直線，交曲線C于另一點A2（x2，y2），再過A2（x2，y2）作斜率為k2的直線，交曲線C于另一點A3（x3，y3），…，過An（xn，yn）作斜率為kn的直線，交曲線C于另一點An+1（xn+1，yn+1）…，其中x1=1，kn=-
xn+1
x
2
n
+4xn
(x∈N*)
（1）求xn+1與xn的關系式；
（2）判斷xn與2的大小關系，并證明你的結論；
（3）求證：|x1-2|+|x2-2|+…+|xn-2|＜2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知曲線C：xy=1，過C上一點An（xn，yn）作一斜率kn=-
1
xn+2
的直線交曲線C于另一點An+1（xn+1，yn+1）．
（1）求xn與xn+1之間的關系式；
（2）若x1=
11
7
，求證：數列
1
xn-2
+
1
3
是等比數列；
（3）求證：（-1）x1+（-1）2x2+（-1）3x3+…（-1）nxn＜1（n∈N*）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•濱州一模）已知曲線C：xy=1，過C上一點An（xn，yn）作一斜率為kn=
1
xn+2
的直線交曲線C于另一點An+1（xn+1，yn+1），點列{An}的橫坐標構成數列{xn}，其中x1=
11
7
．
（I）求xn與xn+1的關系式；
（II）令bn=
1
xn-2
+
1
3
，求證：數列{bn}是等比數列；
（III）若cn=3n-λbn（λ為非零整數，n∈N*），試確定λ的值，使得對任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．

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