Question

已知曲線C：xy=1，過C上一點A_n（x_n，y_n）作一斜率為kn=-

1

xn+2

的直線交曲線C于另一點A_n+1（x_n+1，y_n+1），點列A_n（n=1，2，3，…）的橫坐標構成數列{x_n}，其中x1=

11

7

．
（1）求x_n與x_n+1的關系式；
（2）求證：{

1

xn-2

+

1

3

}是等比數列；
（3）求證：（-1）x₁+（-1）²x₂+（-1）³x₃+…+（-1）ⁿx_n＜1（n∈N，n≥1）．

Answer 1

分析：（1）根據點A_n的坐標表示出斜率k_n，代入kn=-

1

xn+2

求得x_nx_n+1=x_n+2整理后即可求得x_n與x_n+1的關系式；
（2））記an=

1

xn-2

+

1

3

，把（1）中求得x_n與x_n+1的關系式代入可求得a_n+1=-2a_n推斷數列{a_n}即：{

1

xn-2

+

1

3

}是等比數列；
（3）由（2）可求得

1

xn-2

+

1

3

的表達式，進而求得x_n，進而看n為偶數時，求得（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n=

2n-1+2n

(2n-1+ 1 3 )(2n- 1 3 )

＜

1

2n-1

+

1

2n

，進而可證（-1）x₁+（-1）²x₂+（-1）³x₃+…+（-1）ⁿx_n＜1；再看n為奇數時，
前n-1項為偶數項，則可證出：（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n＜-1+

1

2n+ 1 3

＜1，最后綜合原式可證．

解答：解：（1）過C：y=

1

x

上一點A_n（x_n，y_n）作斜率為k_n的直線交C于另一點A_n+1，
則kn=

yn+1-yn

xn+1-xn

=

1 xn+1 - 1 xn

xn+1-xn

=-

1

xn+1•xn

=-

1

xn+2

，
于是有：x_nx_n+1=x_n+2
即：xn+1=1+

2

xn

．
（2）記an=

1

xn-2

+

1

3

，
則an+1=

1

xn+1-2

+

1

3

=

1

xn+2 xn -2

+

1

3

=-2(

1

xn-2

+

1

3

)=-2an，
因為x1=

11

7

 ， 而a1=

1

x1-2

+

1

3

=-2≠0，
因此數列{

1

xn-2

+

1

3

}是等比數列．
（3）由（2）知：an=(-2)n ， 則xn=2+

1

(-2)n- 1 3

，(-1)nxn=(-1)n•2+

1

2n-(-1)n• 1 3

．
①當n為偶數時有：（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n=
=

1

2n-1+ 1 3

+

1

2n- 1 3

=

2n-1+2n

(2n-1+ 1 3 )(2n- 1 3 )

＜

2n-1+2n

2n-1•2n

＜

1

2n-1

+

1

2n

，
于是在n為偶數時有：(-1)x1+(-1)2x2++(-1)nxn＜

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

++

1

2n

＜1．
1在n為奇數時，前n-1項為偶數項，
于是有：（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n＜1+(-1)nxn=1-xn=1-(2+

1

(-2)n- 1 3

)=-1+

1

2n+ 1 3

＜1．
綜合①②可知原不等式得證．

點評：本題主要考查了數列的遞推式．考查了學生推理能力和基本的運算能力．