Question

在平面直角坐標系中，角α，β的終邊分別與以原點為圓心的單位圓交于A、B兩點，且|

AB

|=

2 5

5

．
（Ⅰ）求cos（α-β）的值；
（Ⅱ）若0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，且sinβ=-

5

13

，求sinα的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意設出

OA

，

OB

，利用向量法則根據

OB

-

OA

表示出

AB

，利用向量模的定義列出關系式，整理后利用兩角和與差的余弦函數公式即可求出cos（α-β）的值；
（Ⅱ）由α與β的范圍求出α-β的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出sin（α-β）與cosβ的值，所求式子變形后，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）根據題意設

OA

=（cosα，sinα），

OB

=（cosβ，sinβ），
∴

AB

=

OB

-

OA

=（cosβ-cosα，sinβ-sinα），
∴|

AB

|²=（cosβ-cosα）²+（sinβ-sinα）²=

4

5

，即2-2（cosβcosα+sinβsinα）=

4

5

，
∴cos（α-β）=cosβcosα+sinβsinα=

3

5

；
（Ⅱ）∵0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，
∴0＜α-β＜π，
∴sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

4

5

，
∵sinβ=-

5

13

，
∴cosβ=

1-sin2β

=

12

13

，
則sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=

4

5

×

12

13

-

3

5

×

5

13

=

33

65

．

點評：此題考查了兩角和與差的余弦函數公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式是解本題的關鍵．