Question

已知二次函數f（x）=ax²+x．
（1）設函數g（x）=（1﹣2t）x+t²﹣1，當a=1，函數h（x）=f（x）+g（x）在區間（﹣2，4）內有兩個相異的零點，求實數t的取值范圍．
（2）當a＞0，求證對任意兩個不等的實數x₁，x₂，都有；
（3）若x∈[0，1]時，﹣1≤f（x）≤1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當a=1，函數h（x）=f（x）+g（x）=x²+（2﹣2t）x+t²﹣1．
由題意可得，即，
解得﹣2+＜t＜1．
故實數t的取值范圍為（﹣2+，1）．
（2）∵
=，
故對任意兩個不等的實數x₁，x₂，都有．
（3）由題意可得x∈[0，1]時，﹣1≤f（x）≤1，即﹣1≤ax2+x≤1，
即x∈[0，1]時，ax²+x+1≥0且ax²+x﹣1≤0恒成立，
當x=0時，顯然，ax²+x+1≥0且ax²+x﹣1≤0均成立．
當x∈（0，1]時，由ax²+x+1≥0恒成立，得，
而
在x∈（0，1]最大值為﹣2  ∴a≥﹣2．
當x∈（0，1]時，由ax²+x﹣1≤0恒成立 ，得，
而在x∈（0，1]最小值為0，
∴a≤0．
綜上可得，﹣2≤a≤0． ．