Question

在數列{a_n}中，已知a₁=p＞0，且a_n+1•a_n=n²+3n+2，n∈N^*．
（1）若數列{a_n}為等差數列，求p的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列遞推式,等差關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由題意得，[a₁+（n-1）d]（a₁+nd）=n²+3n+2對n∈N^*恒成立．由此能求出p的值為2．
（2）由已知得

an+2

an

=

n+3

n+1

．由此利用分類討論思想能求出數列{a_n}的通項公式．

解答： 解：（1）設數列{a_n}的公差為d，
則a_n=a₁+（n-1）d，a_n+1=a₁+nd．
由題意得，[a₁+（n-1）d]（a₁+nd）=n²+3n+2對n∈N^*恒成立．
即d²n²+（2a₁d-d²）n+（a₁²-a₁d）=n²+3n+2．
所以

d2=1 2a1d-d2=3 a12-a1d=2

，
即

d=1 a1=2

或

d=-1 a1=-2

，
因為a₁=p＞0，故p的值為2．…（6分）
（2）因為a_n+1•a_n=n²+3n+2=（n+1）（n+2），
所以a_n+2•a_n+1=（n+2）（n+3）．
所以

an+2

an

=

n+3

n+1

．
①當n為奇數，且n≥3時，

a3

a1

=

4

2

=

4

2

，

a   5

a3

=

6

4

，…，

an

an-2

=

n+1

n-1

．
相乘得

an

a1

=

n+1

2

，所以a_n=

n+1

2

p．當n=1時也符合．
②當n為偶數，且n≥4時，

a4

a2

=

5

3

，

a6

a4

=

7

5

，…，

an

an-2

=

n+1

n-1

．
相乘得

an

a2

=

n+1

3

，所以a_n=

n+1

3

a₂．
因為a₁•a₂=6，所以a₂=

6

p

．
所以a_n=

2(n+1)

p

，當n=2時也符合．
所以數列{a_n}的通項公式為a_n=

n+1 2 p，(n為奇數) 2(n+1) p ，(n為偶數

．…（12分）

點評：本題考查實數值的求法，考查數列的通項公式的求法，解題時要認真審題，注意等差數列和等比數列性質的合理運用．