Question

已知a∈R，，g（x）=alnx
（1）當(dāng)a=1時，求h（x）=f（x）+g（x）在（0，1]上的最大值；
（2）若函數(shù)t（x）=f（x）+g（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=1時，h（x）=f（x）+g（x）=+lnx
函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
h′（x）=＞0
∴h（x）在（0，1]單調(diào)遞增，
故函數(shù)h（x）_max=h（1）=0
（2）（x＞0）
∵t（x）在（0，1]上是增函數(shù)．
∴t'（x）≥0在（0，1]上恒成立．
即在（0，1]上恒成立．
在（0，1]上恒成立．
令h（x）=
則原問題等價(jià)于求h（x）在（0，1]上的最大值．

現(xiàn)只要比較與大小，即可判斷h'（x）的符號．
事實(shí)上（在x＞0時恒成立．）
∴h'（x）＞0，即h（x）在（0，1]上是增函數(shù)．
∴h（x）在（0，1]上的最大值為
∴．
分析：（I）求導(dǎo)，令f′（x）＞0求出函數(shù)的增區(qū)間，令f′（x）＜0求出函數(shù)的減區(qū)間；
（2）由（Ⅰ）知，f（x）在[0，2]上的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，和f（0）、f（1）比較大小，確定函數(shù)的最大值．
點(diǎn)評：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬難題．