Question

已知a∈R，，g（x）=alnx
（1）當a=1時，求h（x）=f（x）+g（x）在（0，1]上的最大值；
（2）若函數t（x）=f（x）+g（x）在（0，1]上單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求導，令f′（x）＞0求出函數的增區間，令f′（x）＜0求出函數的減區間；
（2）由（Ⅰ）知，f（x）在[0，2]上的單調性，求得函數的極值，和f（0）、f（1）比較大小，確定函數的最大值．
解答：解：（1）當a=1時，h（x）=f（x）+g（x）=+lnx
函數的定義域為（0，+∞），
h′（x）=＞0
∴h（x）在（0，1]單調遞增，
故函數h（x）_max=h（1）=0
（2）（x＞0）
∵t（x）在（0，1]上是增函數．
∴t'（x）≥0在（0，1]上恒成立．
即在（0，1]上恒成立．
在（0，1]上恒成立．
令h（x）=
則原問題等價于求h（x）在（0，1]上的最大值．

現只要比較與大小，即可判斷h'（x）的符號．
事實上（在x＞0時恒成立．）
∴h'（x）＞0，即h（x）在（0，1]上是增函數．
∴h（x）在（0，1]上的最大值為
∴．
點評：考查利用導數研究函數的單調性和最值，屬難題．