Question

（本小題滿分14分）

已知正三角形的三個頂點都在拋物線上，其中為坐標原點，設圓是的內接圓（點為圓心）

（I）求圓的方程；

（II）設圓的方程為，過圓上任意一點分別作圓的兩條切線，切點為，求的最大值和最小值．

 

Answer 1

【答案】

（I）圓C的方程為

（II）的最大值為，最小值為

【解析】解法一:設A、B兩點坐標分別為，由題設知

解得

所以

設圓心C的坐標為（r,0），則因此圓C的方程為

···················· 4分

解法二：設A、B兩點坐標分別為由題設知

.

又因為即

由x₁＞0，x₂＞0，可知x₁=x₂，故A、B兩點關于x軸對稱，所以圓心C在x軸上.

設C點的坐標為（r,0），則A點坐標為，于是有，解得r=4,所以圓C的方程為

···················· 4分

(Ⅱ)解：設∠ECF=2a,則

.·· 8分

在Rt△PCE中,.由圓的幾何性質得

≤≥·· 10分

所以≤≤，由此可得

≤≤.

故的最大值為，最小值為.········· 14分