Question

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AC∩BD=0，AB=2，∠ABC=60°，E，F分別為棱BB₁，CC₁上的點，EC=BC=2FB，M是AE的中點．
（1）求證FM∥BO
（2）求平面AEF與平面ABCD所成銳二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）連接MF，MO后，由EC=BC=2FB，M是AE的中點，我們易判斷出四邊形OBFM為平行四邊形，結合平行四邊形的性質，即可得到結論．
（2）延長EF，DB交于G，連接AG．則平面AEF∩平面ABCD=AG．再證出AG⊥AC AG⊥AE，則∠EAC即為所求的平面角．解直角三角形EAC即可獲解．

解答：解：（1）如圖所示，
連接MF，MO                                      
∵EC=2FB，EC∥F
∴MO是△ACE的中位線
∴2OM=CE，OM∥CE
∴OM=FM，OM∥FB
∴四邊形OBFM為平行四邊形
∴BO∥MF
（2）由（1）知AG⊥AC，
又  AA₁⊥AG，且AA₁∩AC=A，于是知AG⊥面AC，
∴∠EAC是 平面AEF與平面ABCD所成銳二面角的平面角．
∵AB=2，底面是菱形，且∠ABC=60°，∴AC=2，
在直角三角形ECA中，AE=2

2

   
，sin∠EAC=

2

2

，
∴∠EAC=

π

4

         
∴平面AEF與平面ABCD所成銳二面角的大小是

π

4

                                           

點評：本題考查空間中直線與直線的位置關系的證明、二面角的求法，平行四邊形的性質是線線平行與線面平行平行常用的連接紐帶，二面角的求解時，先作出或在圖中找出它的平面角，再去解三角形，把空間問題轉化成平面問題．