Question

如圖，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是邊長為4的菱形，∠BAD=60°，AA₁=6，P是棱AA₁的中點．求：
（1）截面PBD分這個棱柱所得的兩個幾何體的體積；
（2）三棱錐A-PBD的高．

Answer 1

分析：（1）利用棱錐的體積，求出底面面積，然后求出棱錐的體積，求出棱柱的體積．
（2）利用等體積法，求出棱錐的高即可．

解答：解：（1）因為直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是邊長為4的菱形，∠BAD=60°，
AA₁=6，P是棱AA₁的中點．所以S_底=

1

2

×4×4sin60°=4

3

，V_錐=

1

3

×3×4

3

=4

3

．
V_多面體=V_柱-V_錐=2×4

3

×6-4

3

=44

3

．
（2）S_△PBD=

1

2

BD•

PA2+AB2-( 1 2 BD)2

=

1

2

×4×

9+12

=2

21

，
因為V_P-ABD=V_A-PBD，
所以4

3

=

1

3

×2

21

h，
h=

6 7

7

．
三棱錐A-PBD的高為

6 7

7

．

點評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，棱柱的結構特征，考查計算能力．