Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC為直角的等腰三角形，AC=2，BB₁=3，D為A₁C₁的中點，E為B₁C的中點．
（1）求直線BE與A₁C所成的角的余弦；
（2）在線段AA₁上取一點F，問AF為何值時，CF⊥平面B₁DF？

Answer 1

【答案】分析：（1）以B點為原點，BA、BC、BB₁分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，用坐標表示點，進而可表示向量，利用向量的數量積可求直線BE與A₁C所成的角的余弦；
（2）要使得CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F，由=0可建立方程，從而得解．
解答：解：（1）因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥面ABC，∠ABC=．
以B點為原點，BA、BC、BB₁分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系，…（2分）
因為AC=2，∠ABC=90°，所以AB=BC=，
從而B（0，0，0），A（，0，0），C（0，，0），
B₁（0，0，3），A₁（，0，3），C₁（0，，3），D（，，3），E（0，）．
所以，
而，且
所以cosθ=…（5分）
所以直線BE與A₁C所成的角的余弦為．…（6分）
（2）設AF=x，則F（，0，x），，，…（8分）
，
所以⊥，…（9分）
要使得CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F，由=2+x（x-3）=0，有x=1或x=2，…（11分）
故當AF=1，或AF=21時，CF⊥平面B₁DF．…（12分）
點評：本題的考點是用空間向量求直線間的夾角與距離，主要考查線線角及線面垂直問題，關鍵是構建空間直角坐標系，利用向量的數量積求解．