Question

已知函數f（x）=ax²-

1

2

x+c（a、c∈R），滿足f（1）=0，且f（x）≥0在x∈R時恒成立．
（1）求a、c的值；
（2）若h（x）=

3

4

x²-bx+

b

2

-

1

4

，解不等式f（x）+h（x）＜0；
（3）是否存在實數m，使函數g（x）=f（x）-mx在區間[m，m+2]上有最小值-5？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數的性質,函數恒成立問題

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）由f（1）=0得a+c=

1

2

，再由恒成立得a＞0且△=

1

4

-4ac≤0，從而解得a=c=

1

4

．
（2）由（1）得f（x）=

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

，從而化不等式為（x-b）（x-

1

2

）＜0，從而討論解得；
（3）g（x）=

1

4

x²-（

1

2

+m）x+

1

4

，假設存在實數m，使函數g（x）在區間[m，m+2]上有最小值-5．從而討論單調性以確定最小值，從而解得．

解答： 解：（1）由f（1）=0，得a+c=

1

2

，
因為f（x）≥0在R上恒成立，
所以a＞0且△=

1

4

-4ac≤0，
ac≥

1

16

，
即a（

1

2

-a）≥

1

16

，
即（a-

1

4

）²≤0，
所以a=c=

1

4

．
（2）由（1）得f（x）=

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

，
由f（x）+h（x）＜0，得
x²-（b+

1

2

）x+

b

2

＜0，即
（x-b）（x-

1

2

）＜0，
所以，當b＜

1

2

時，原不等式解集為（b，

1

2

）；
當b＞

1

2

時，原不等式解集為（

1

2

，b）；
當b=

1

2

時，原不等式解集為空集．
（3）g（x）=

1

4

x²-（

1

2

+m）x+

1

4

，
g（x）的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為直線x=2m+1．
假設存在實數m，使函數g（x）在區間[m，m+2]上有最小值-5．
①當2m+1＜m，即m＜-1時，函數g（x）在區間[m，m+2]上是增函數，所以g（m）=-5，
即

1

4

m²-（

1

2

+m）m+

1

4

=-5，解得m=-3或m=

7

3

，
因為m＜-1，所以m=-3；
②當m≤2m+1≤m+2，即-1≤m≤1時，函數g（x）的最小值為g（2m+1）=-5，
即

1

4

（2m+1）²-（

1

2

+m）（2m+1）+

1

4

=-5，
解得m=-

1

2

-

21

2

或m=-

1

2

+

21

2

，均舍去；                                            
③當2m+1＞m+2，即m＞1時，
g（x）在區間[m，m+2]上是減函數，所以g（m+2）=-5，
即

1

4

（m+2）²-（

1

2

+m）（m+2）+

1

4

=-5，
解得m=-1-2

2

或m=-1+2

2

，
因m＞1，所以m=-1+2

2

．
綜上，存在實數m，m=-3或m=-1+2

2

時，函數g（x）在區間[m，m+2]上有最小值-5．…（18分）

點評：本題考查了函數的性質應用及恒成立問題，同時考查了分類討論的數學思想．屬于中檔題．