Question

若函數f（x）對一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
（1）試判斷f（x）的奇偶性；
（2）若f（-3）=a，用a表示f（12）．

Answer 1

（1）顯然f（x）的定義域是R，關于原點對稱．
又∵函數對一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數．
（2）∵f（-3）=a且f（x）為奇函數，
∴f（3）=-f（-3）=-a．
又∵f（x+y）=f（x）+f（y），x、y∈R，
∴f（12）=f（6+6）=f（6）+f（6）=2f（6）=2f（3+3）=4f（3）=-4a．
故f（12）=-4a．