Question

若函數f（x）對一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
（1）試判斷f（x）的奇偶性；
（2）若f（-3）=a，用a表示f（12）．

Answer 1

【答案】分析：（1）判斷f（x）奇偶性，即找出f（-x）與f（x）之間的關系，∴令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故問題轉化為求f（0）即可，可對x、y都賦值為0；
（2）由于知曉f（-3）=a故解本題關鍵是找出f（12）與f（-3）之間的關系，注意用（1）的結論．
解答：解：（1）顯然f（x）的定義域是R，關于原點對稱．
又∵函數對一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數．
（2）∵f（-3）=a且f（x）為奇函數，
∴f（3）=-f（-3）=-a．
又∵f（x+y）=f（x）+f（y），x、y∈R，
∴f（12）=f（6+6）=f（6）+f（6）=2f（6）=2f（3+3）=4f（3）=-4a．
故f（12）=-4a．
點評：本題考點是抽象函數及其性質，在研究其奇偶性時本題采取了連續賦值的技巧，這是判斷抽象函數性質時常用的一種探究的方式，在第二問的求值中根據恒等式的結構把已知用未知表示出來，做題時注意體會抽象函數恒等式的用法規律．