Question

函數y=x+

1

x+1

的值域是

（-∞，-3]∪[1，+∞）

．

Answer 1

分析：y=x+

1

x+1

=（x+1）+

1

x+1

-1，分x+1＞0與x+1＜0兩種情況討論，應用基本不等式即可求得函數y=x+

1

x+1

的值域．

解答：解：∵y=x+

1

x+1

=（x+1）+

1

x+1

-1，
①若x+1＞0，即x＞-1，y=（x+1）+

1

x+1

-1≥2-1=1，（當且僅當x=0時取“=”）；
②若x+1＜0，即x＜-1，-[（x+1）+

1

x+1

]=-（x+1）-

1

x+1

≥2，（當且僅當x=-2時取“=”）；
于是（x+1）+

1

x+1

≤-2，故y=（x+1）+

1

x+1

-1≤-3；
綜上所述：函數y=x+

1

x+1

的值域是：（-∞，-3]∪[1，+∞）．
故答案為：（-∞，-3]∪[1，+∞）．

點評：本題考查基本不等式，關鍵在于對x+1分x+1＞0與x+1＜0兩種情況討論，再正確應用基本不等式解決問題，屬于中檔題．