Question

(北京海淀模擬)如下圖，已知平行六面體的底面為正方形，、O分別為上、下底面的中心，且在底面ABCD上的射影是O．

(1)求證：平面⊥平面ABCD；

(2)若點E，F分別在棱，BC上，且，問點F在何處時，EF⊥AD?

(3)若，求二面角C－－B的大小(用反三角函數表示)．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)連結AC，BD，，則O為AC，BD的交點，為，的交點．由平行六面體的性質知：且， ∴四邊形為平行四邊形， ∴． 又∵⊥平面ABCD， ∴平面ABCD， 又∵平面， ∴平面平面ABCD． (2)作EH⊥平面ABCD，垂足為H，則，點H在直線AC上，且EF在平面ABCD上的射影為HF．由三垂線定理及其逆定理， 知． ∵，∴AH=2HO， 從而CH=2AH．又∵HF∥AB， ∴CF=2BF，從而． ∴當F為BC的三等分點(靠近B)時，有EF⊥AD． (2)過點O作，垂足為M，連結BM． ∵⊥平面ABCD， ∴⊥OB． 又∵OB⊥OA．∴OB⊥平面，由三垂線定理得． ∴∠OMB為二面角的平面角， 在Rt△AMB中，∠MAB=60°， ∴． 又∵，∴， ∴． ∴二面角的大小為．