Question

已知函數f（x）=x³-2x²-4x-7，其導函數為f′（x）．
①f（x）的單調減區間是(

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，2)；     
②f（x）的極小值是-15；
③當a＞2時，對任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a）；
④函數f（x）有且只有一個零點．    
其中真命題的個數為（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：導數的運算,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的概念及應用

分析：由f（x）=x³-2x²-4x-7，知f′（x）=3x²-4x-4，令f′（x）=3x²-4x-4=0，得x=-

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，x₂=2，分別求出函數的極大值和極小值，知①錯誤，②④正確；由a＞2，x＞2且x≠a，利用作差法知f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）＞0，故③正確；

解答： 解：f（x）=x³-2x²-4x-7，其導函數為f′（x）=3x²-4x-4．
令f′（x）=0，解得x=-

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，x=2，
當f′（x）＞0時，即x＜-

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3

，或x＞2時，函數單調遞增，
當f′（x）＜0時，即-

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3

＜x＜2時，函數單調遞減；
故當x=2時，函數有極小值，極小值為f（-2）=-15，當x=-

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3

時，函數有極大值，極大值為f（-

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）＜0，
故函數只有一個零點，
①錯誤，②④正確；∵a＞2，x＞2且x≠a，
∴f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）
=x³-2x²-4x-a³+2a²+4a-（3a²-4a-4）（x-a）
=x³+2a³-2x²-2a²-3a²x+4ax＞0，
∴恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a），
故③正確；
所以中真命題的個數為3個，
故選：C

點評：本題考查函數的單調區間、極值的求法，以及不等式的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想和導數性質的靈活運用．