Question

已知偶函數滿足：當時，，當時，．

(Ⅰ)求表達式；

(Ⅱ)若直線與函數的圖像恰有兩個公共點，求實數的取值范圍；

(Ⅲ)試討論當實數滿足什么條件時，直線的圖像恰有個公共點，且這個公共點均勻分布在直線上．（不要求過程）

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)．;(Ⅱ)．  (Ⅲ)．當時，或

當時，  此時; 當時，，或

當時此時．

【解析】

試題分析：（1）由為偶函數，則有，又因為當，及，，所以當時，，即可求出 ．當時，同理可求出此時的．（2）畫出的大致圖像，由圖1易知，當時，函數與恰有兩個交點，所以當時，函數與無交點，易得當時恒成立，當時，則有，即可求出．

當，時，函數的圖像如圖2所示，此時直線的圖像若恰有個公共點，且這個公共點均勻分布在直線上，則易知時符合題意，設時由左到右的兩個交點的橫坐標分別為，由函數的對稱性易知，，此時．其他情況同理即可求出．

                   圖1                              圖2

試題解析：（1）為偶函數，則有．

當時，，即

當時，，，即，故有

（2）如下圖，當時，由圖像易知函數與恰有兩個交點，當時，函數與無交點．由，．

當時，此時符合題意；

當時，由，即，可得．由偶函數的對稱性可知時，與時的情況相同．

故綜上：

（3）當時，或；

當時，  此時；

當時，，或；

當時此時．

考點：1．函數的奇偶性 2．分段函數解析式的求解 3．二次函數的圖像．