Question

（2013•黑龍江二模）已知向量

a

，

b

，

c

滿足：|

a

|=1，|

b

|=

2

，

b

在

a

上的投影為

1

2

，（

a

-

c

）（

b

-

c

）=0，則|

c

|的最大值為

1+

2

2

．

Answer 1

分析：建立直角坐標系O-xy．設

a

=(1，0)，由

b

在

a

上的投影為

1

2

，可得cos＜

a

，

b

＞=

2

4

，得到sin＜

a

，

b

＞=

1-( 2 4 )2

=

14

4

，即可得到

b

=(

1

2

，

7

2

)．設

c

=(x，y)，由（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0得(1-x，-y)•(

1

2

-x，

7

2

-y)=0，得到(x-

3

4

)2+(y-

7

4

)2=

1

2

．得圓心C(

3

4

，

7

4

)，半徑r=

2

2

．利用|

c

|=

x2+y2

≤|

OC

|+r即可得到|

c

|的最大值．

解答：解：建立直角坐標系O-xy．
設

a

=(1，0)，
∵

b

在

a

上的投影為

1

2

，
∴|

b

|cos＜

a

，

b

＞=

1

2

，∴cos＜

a

，

b

＞=

2

4

，
∴sin＜

a

，

b

＞=

1-( 2 4 )2

=

14

4

，
∴

b

=(

1

2

，

7

2

)．
設

c

=(x，y)，由（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0得(1-x，-y)•(

1

2

-x，

7

2

-y)=0，
得(1-x)(

1

2

-x)-y(

7

2

-y)=0，化為(x-

3

4

)2+(y-

7

4

)2=

1

2

．
得圓心C(

3

4

，

7

4

)，半徑r=

2

2

．
∴|

c

|=

x2+y2

≤|

OC

|+r=

( 3 4 )2+( 7 4 )2

+

2

2

=1+

2

2

．
故|

c

|的最大值為1+

2

2

．
故答案為1+

2

2

．

點評：熟練掌握向量的數量積運算及其投影的意義、圓的標準方程、模的計算公式等是解題的關鍵．