Question

如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F₁，F₂在x軸上，長軸A₁A₂的長為4，左準線l與x軸的交點為M，|MA₁|：|A₁F₁|=2：1．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若點P在直線l上運動，求∠F₁PF₂的最大值、

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設橢圓方程為，半焦距為c，由題意能夠導出a=2，b=，c=1，故橢圓方程為．
（Ⅱ）設P（-4，y），y≠0設直線PF₁的斜率k₁=，直線PF₂的斜率k₂=，由題設知∠F1PF為銳角．由此能導出∠F₁PF₂的最大值為．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓方程為，半焦距為c，
則由題意，
得，∴a=2，b=，c=1，故橢圓方程為．
（Ⅱ）設P（-4，y），y≠0設直線PF₁的斜率k₁=，直線PF₂的斜率k₂=，
∵，∴∠F1PF為銳角．
∴．
當，即時，tan∠F₁PF₂取到最大值，
此時∠F₁PF₂最大，故∠F₁PF₂的最大值為．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細求解．