Question

設關于x的方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）內有相異二解α、β．
（1）求α的取值范圍．（2）求tan（α+β）的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通過兩角和公式對方程進行化簡，因有相異二解推斷出sin（x+）不等于sin和±1，進而推斷|-|＜1，求出a的取值范圍．
（Ⅱ）把方程的相異解α、β分別代入方程，得到的兩個方程相減，求得tan的值，再用二倍角公式求出tan（α+β）的值．
解答：解：（Ⅰ）∵sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），
∴方程化為sin（x+）=-．
∵方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）內有相異二解，
∴sin（x+）≠sin=．
又sin（x+）≠±1（∵當等于和±1時僅有一解），
∴|-|＜1．且-≠．即|a|＜2且a≠-．
∴a的取值范圍是（-2，-）∪（-，2）．
（Ⅱ）∵α、β是方程的相異解，
∴sinα+cosα+a=0①．
sinβ+cosβ+a=0②．
①-②得（sinα-sinβ）+（cosα-cosβ）=0．
∴2sincos-2sinsin=0，又sin≠0，
∴tan=．
∴tan（α+β）==．
點評：本題主要考查三角函數中的兩角和公式．解題的關鍵既要熟練掌握公式，又要靈活利用特殊角．