Question

已知拋物線y²=2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A（3，2），則|PA|+|PF|取最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

分析：作PM⊥準(zhǔn)線l，M為垂足，由拋物線的定義可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，故當(dāng)P，A，M三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PM|最小為|AM|，此時(shí)，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，代入拋物線的方程可求得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，從而得到P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：由題意可得F（

1

2

，0 ），準(zhǔn)線方程為 x=-

1

2

，作PM⊥準(zhǔn)線l，M為垂足，
由拋物線的定義可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，
故當(dāng)P，A，M三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PM|最小為|AM|=3-（-

1

2

）=

7

2

，
此時(shí)，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，代入拋物線的方程可求得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，故P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2），
故答案為：（2，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷當(dāng)P，A，M三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PM|最小為|AM|，是解題的關(guān)鍵．