Question

（1）已知：等差數列{a_n}的首項a₁，公差d，證明數列前n項和Sn=na1+

n(n-1)

2

d；
（2）已知：等比數列{a_n}的首項a₁，公比q，則證明數列前n項和Sn=

a1(1-qn) 1-q (q≠1) na1(q=1)

．

Answer 1

分析：（1）由于 s_n=a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）+…+[a₁+（n-1）d]，且 s_n=a_n+（a_n-d）+（a_n-2d）+…+[a_n-（n-1）d]，兩式相加即可證得結論．
（2）當公比q=1時，等比數列{a_n}的所有項都等于a₁，可得s_n=na₁．當公比q≠1時，由于s_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1，qs_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁q^n-1+a₁ qⁿ，錯位相減可得（1-q）s_n=a₁-a₁qⁿ，從而證得結論成立．

解答：（1）證明：∵s_n=a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）+…+[a₁+（n-1）d]，
s_n=a_n+（a_n-d）+（a_n-2d）+…+[a_n-（n-1）d]，
相加可得 2s_n=n（a₁+a_n），∴s_n=

n(a1+an)

2

．
再把 a_n=a₁+（n-1）d 代入可得 Sn=na1+

n(n-1)

2

d．
（2）證明：當公比q=1時，等比數列{a_n}的所有項都等于a₁，∴s_n=na₁．
當公比q≠1時，∵s_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1，
qs_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁q^n-1+a₁ qⁿ，
錯位相減可得（1-q）s_n=a₁-a₁qⁿ，
∴s_n=

a 1  -a1 qn

1-q

=

a1(1-qn)

1-q

，
故Sn=

a1(1-qn) 1-q (q≠1) na1(q=1)

．

點評：本題主要考查用倒序相加法等差數列前n項和公式，用錯位相減法等比數列前n項和公式，屬于中檔題．