Question

（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分別是BC, PC的中點.

（1）證明：AE⊥PD;

（2）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E—AF—C的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）略

（2）

【解析】（Ⅰ）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形.

因為      E為BC的中點，所以AE⊥BC.

     又   BC∥AD，因此AE⊥AD.

因為PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.

而    PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，

所以  AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.

所以 AE⊥PD………4分

（Ⅱ）解：設AB=2，H為PD上任意一點，連接AH，EH.

由（Ⅰ）知   AE⊥平面PAD，

則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE=，

所以  當AH最短時，∠EHA最大，

即     當AH⊥PD時，∠EHA最大.

此時    tan∠EHA=

因此   AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，

所以    PA=2………6分

解法一：因為   PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，

        所以   平面PAC⊥平面ABCD.

        過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，

        過O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，

       在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=,

       又F是PC的中點，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=,

       又    

       在Rt△ESO中，cos∠ESO=

       即所求二面角的余弦值為……12分

解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又E、F分別為BC、PC的中點，所以

E、F分別為BC、PC的中點，所以

A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），

所以    

設平面AEF的一法向量為

 

因此

 

 

因為  BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以   BD⊥平面AFC，

故     為平面AFC的一法向量.

又     =（），

 

 

 

因為   二面角E-AF-C為銳角，

所以所求二面角的余弦值為……12分