Question

設函數f（x）=

a

•

b

定義在R上，其中

a

=(cosx，sin2x)，

b

=(2cosx，

3

)．
（1）求函數y=f（x）的單調遞增區間；
（2）將函數y=f（x）的圖象向右平移

π

6

單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標延長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，若g（x）＜m+2在x∈[O，2π]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用向量的數量積公式，再利用輔助角公式化簡函數，利用正弦函數的單調增區間，即可求得結論；
（2）先求函數y=g（x），再求函數的最小值，即可求得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵

a

=(cosx，sin2x)，

b

=(2cosx，

3

)，
∴y=f（x）=2cos²x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），可得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z），
∴函數y=f（x）的單調遞增區間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）；
（2）將函數y=f（x）的圖象向右平移

π

6

單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標延長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）=2sin（

1

4

x-

π

6

）
∵x∈[O，2π]，∴

1

4

x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]
∴sin（

1

4

x-

π

6

）∈[-

1

2

，

3

2

]
∴2sin（

1

4

x-

π

6

）∈[-1，

3

]
∵f（x）＜m+2在x∈[O，2π]上恒成立，
∴-1＜m+2，∴m＞-3．

點評：本題考查向量的數量積運算，考查輔助角公式的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，正確確定函數解析式是關鍵．