Question

設函數f（x）=a+bcosx+csinx的圖象過點（0，1）和點(

π

2

，1)，當x∈[0，

π

2

]時，|f（x）|＜2，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、-

  2

  ＜a≤1
• B、1≤a＜4+3

  2

• C、-

  2

  ＜a＜4+3

  2

• D、-a＜a＜2

Answer 1

分析：由已知中函數f（x）=a+bcosx+csinx的圖象過點（0，1）和點(

π

2

，1)，我們易找到a，b，c之間的關系，根據輔助角公式，可將函數解析式進行化簡，然后分類討論a取不同值時，|f（x）|＜2的解集情況，綜合討論結果，即可得到答案．

解答：解：已知函數f（x）=a+bcosx+csinx的圖象過點（0，1）和（

π

2

，1），
則a+b=1①，a+c=1②，
由①②得：b=c=1-a，
∴f（x）=a+（1-a）

2

sin（x+45°），可以分以下幾種情況：
1）當a=1時，f（x）=1，符合題意；
2）當1-a＞0，即a＜1時，
由x∈[0，

π

2

]得，f（x）∈[1，

2

+（1-

2

）a]，
若|f（x）|＜2，只需

2

+（1-

2

）a＜2，
∴a＞-

2

，
又∵a＜1，所以-

2

＜a＜1：
3）當1-a＜0，即a＞1時，
由x∈[0，

π

2

]得，f（x）∈[

2

+（1-

2

）a，1]，
若|f（x）|＜2，只需

2

+（1-

2

）a＞-2
∴a＜4+3

2

又∵a＞1，所以1＜a＜4+3

2

綜上所述：a的取值范圍-

2

＜a＜4+3

2

故選C

點評：本題考查的知識點是三角函數的最值，其中根據已知條件易找到a，b，c之間的關系，再根據輔助角公式，可將函數解析式變形成正弦函數的形式是解答本題的關鍵．