Question

已知A、B兩城相距100km，在兩地之間距A城xkm處D地建一核電站給A、B兩城供電，為保證城市安全．核電站距市距離不得少于10km．已知供電費(fèi)用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數(shù)λ=0.3．若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月．
（1）把月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)，并求定義域；
（2）核電站建在距A城多遠(yuǎn)，才能使供電費(fèi)用最小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）A城供電費(fèi)用y₁=0.3×20x²，B城供電費(fèi)用y₂=0.3×10（100-x）²，總費(fèi)用為y=y₁+y₂，根據(jù)x對(duì)應(yīng)的實(shí)際意義，即可得到x的取值范圍，從而得到函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)y是二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)x=-

b

2a

時(shí)，函數(shù)y取得最小值，從而得到答案．

解答：解：（1）∵核電站距城市的距離不得少于10km，
又∵A、B兩座城市相距100km，
∴x的取值范圍為10≤x≤90，
∵供電費(fèi)用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數(shù)λ=0.3，
又∵A城市供電量為20億度/月，B城市為10億度/月，
∴A城供電費(fèi)用y₁=0.3×20x²，B城供電費(fèi)用y₂=0.3×10（100-x）²，
∴總費(fèi)用為y=6x²+3（100-x）²，
∴月供電總費(fèi)用y=6x²+3（100-x）²，定義域?yàn)閇10，90]；
（2）由（1）可知，y=6x²+3（100-x）²=9x²-600x+30000，
∴對(duì)稱(chēng)軸為x=-

-600

2×9

=

100

3

，圖象開(kāi)口向上，
∴則當(dāng)x=

100

3

km時(shí)，y取得最小值，
答：當(dāng)核電站建在距A城

100

3

km時(shí)，才能使供電總費(fèi)用最小．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．解決實(shí)際問(wèn)題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問(wèn)題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．本題選擇的數(shù)學(xué)模型為二次函數(shù)，對(duì)于二次函數(shù)要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，注意抓住二次函數(shù)的開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，以及判別式的考慮．屬于中檔題．