Question

（14分）已知數(shù)列為方向向量的直線上，（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）求證：（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；

（III）記

求證：

Answer 1

（Ⅰ）  （Ⅱ）略   （III）略

解析:

由題意， 

     為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。   

  （Ⅱ）證明：

      

構(gòu)造輔助函數(shù)

    單調(diào)遞增， 令則

     

  （III）證明：

   

   

    時(shí)，

   

   

    （當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號(hào)）。 

    另一方面，當(dāng)時(shí)，

   

   

   

   

    （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）。

    （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）。綜上所述，有