Question

       已知數列為方向向量的直線上，  

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（II）求證：（其中e為自然對數的底數）；

   （III）記

求證：

Answer 1

由題意，      1分

               2分

       為首項，為公比的等比數列。

                 3分

           4分

 （Ⅱ）證明：

       構造輔助函數

       ∵，單調遞減，

    ∴_，即

       令                                則

               8分

   （III）證明：

      

      

       時，

      

       （當且僅當n=1時取等號）。      11分

       另一方面，當時，

        w. 

      

       _，

       （當且僅當時取等號）。

       （當且僅當時取等號）。

       綜上所述，有