Question

（本小題滿分12分）

已知函數f(x)＝x³＋3ax－1的導函數f ′ (x)，g(x)＝f ′(x)－ax－3．

（1）當a＝－2時，求函數f(x)的單調區間；

（2）若對滿足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)＜0，求實數x的取值范圍；

（3）若x·g ′(x)＋lnx＞0對一切x≥2恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當a＝－2時， f ′(x)＝3x²－6 ．

令 f ′(x)＝0 得x＝，

故當 x＜ 或x＞時， f ′(x) ＞0 ，f(x) 單調遞增；

當＜x＜時， f ′(x)＜0， f(x) 單調遞減．

所以函數f(x)的單調遞增區間為 (－∞，]，[，＋∞)，

單調遞減區間為 (，)． …………………………………………3分

（2）解法一：因＝3x²＋3a，

故g(x) ＝3x²－ax＋3a－3．

令g(x)＝h(a)＝a(3－x)＋3x²－3，

要使 h(a)＜0對滿足－1≤a≤1的一切 a成立，則

0＜x＜． …………………………………… 7分

解法二：f ′(x)＝3x²＋3a，

故g(x)＝3x²－ax＋3a－3．

由g(x)＜0可解得＜x＜．

因為＝a²－36a＋36在[－1，1]單調遞減，

因此 h₁(a)＝在[－1，1] 單調遞增，故h₁(a)≤h₁(1) ＝0

設h₂(a)＝，

則h′₂(a)＝，

因為≥1，

所以 h′₂(a)≤(1＋a－18)＜0，

從而h₂(a) 在[－1，1] 單調遞減，

故h₂(a)≥h₂(1)＝．

因此[h₁(a)]_max＜x＜[h₂(a)]_min，即0＜x＜．

（3）因為g′(x)＝6x－a，所以 x(6x－a)＋lnx＞0，

即 a＜6x＋＝h(x) 對于一切x≥2恒成立．

h′(x)＝6＋＝，

令6x²＋1－lnx＝，則＝12x－．

因為x≥2，所以＞0，

故在[2，＋∞) 單調遞增，有≥＝25－ln2＞0．

因此h′(x)＞0，從而h(x)≥h(2)＝12＋．

所以a＜h_min(x)＝h(2)＝12＋．……………………………………12分