Question

已知點M（-2，0），N（2，0），動點P滿足條件，記動點P的軌跡為W．
（1）求W的方程；
（2）過N（2，0）作直線l交曲線W于A，B兩點，使得|AB|=2，求直線l的方程．
（3）若從動點P向圓C：x²+（y-4）²=1作兩條切線，切點為A、B，令|PC|=d，試用d來表示，并求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知點P的軌跡是以M（-2，0），N（2，0）為焦點，實軸長為的雙曲線．由此能求出W的方程．
（2）若k不存在，即x=2時，可得A（2，），B（2，-），|AB|=2滿足題意；若k存在，可設l：y=k（x-2），聯立，得（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0．由題意知，k≠±1．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=．由此能求出直線l的方程．
（3）=，由d²=x²+（y-4）²=y²+2+（y-4）²=2y²-8y+18=2（y-2）²+10≥10，知=，由此能求出的范圍．
解答：解：（1）由，知點P的軌跡是以M（-2，0），N（2，0）為焦點，
實軸長為的雙曲線．（2分）
即設
所以所求的W的方程為x²-y²=2（4分）
（2）若k不存在，即x=2時，可得A（2，），B（2，-），|AB|=2滿足題意；（5分）
若k存在，可設l：y=k（x-2）
聯立，⇒（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0
由題意知⇒k∈R且k≠±1（6分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=
即=2⇒k=0即l：y=0（8分）
所以直線l的方程為x=2或y=0（9分）
（3）=；
又d²=x²+（y-4）²=y²+2+（y-4）²=2y²-8y+18=2（y-2）²+10≥10
則=
∵d²≥10（13分）在是增函數，
∴
則所求的的范圍為（16分）
點評：本題考查雙曲線方程和直線方程的求法，求的取值范圍．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，靈活運用圓錐曲線的性質和向量數量積計算公式，合理地進行等價轉化．