Question

已知點(diǎn)M（-2，0），N（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM|-|PN|=2

2

．記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W．
（1）求W的方程；
（2）若A，B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求

OA

•

OB

的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用雙曲線的定義，可求W的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合基本不等式，可求

OA

•

OB

的最小值．

解答：解：（1）據(jù)題意M（-2，0），N（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM|-|PN|=2

2

，
∴|PM|-|PN|=2

2

＜4
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支，且c=2，a=

2

，
∴曲線方程為x²-y²=2（x≥

2

）；
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），x₁≥

2

，x₂≥

2

，則x₁x₂≥2
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂≥x₁x₂-

x12-2

×

x22-2

≥

(x1x2-2)2

=x₁x₂-|x₁x₂-2|
=x₁x₂-（x₁x₂-2）=2
∴

OA

•

OB

的最小值是2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查雙曲線的定義，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．