Question

已知函數sin（π-x）cosx，
（1）求函數f（x）在上的值域；
（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA．

Answer 1

解：化簡函數為：f（x）=2cos²x+2，
（1）當時，2x+，
∴，2sin（2x）+1∈[0，3]，即f（x）∈[0，3]；
∴函數f（x）的值域為[0，3]．
（2）由條件知，
即：，0＜C＜π，所以C=，
又∵2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），
∴2sinB=cosAcosC+sinAsinC-（cosAcosC-sinAsinC），
∴sinB=sinAsinC，由C=，A+B+C=π可得：
sin（A+C）=sinA，即sinAcosC+cosAsinC=sinA，
所以：tanA，
解得：tanA=．
分析：（1）利用三角函數的降冪公式與倍角公式，輔助角公式將函數sin（π-x）cosx轉化為：
y=2sin（2x+），由x∈?2x+，由正弦函數的圖象與性質可求得函數f（x）在上的值域；
（2）由，0＜C＜π?C=；2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）?sinB=sinAsinC
?sin（A+C）=sinAsinC，展開整理即可求得tanA．
點評：本題考查復合三角函數的單調性，（1）中難點在于由x∈?2x+，再利用正弦函數的圖象與性質予以解決，（2）著重考查三角函數的恒等變換及化簡求值，屬于中檔題．