Question

已知圓O：x²+y²=4，點P為直線l：x=4上的動點．
（I）若從P到圓O的切線長為，求P點的坐標以及兩條切線所夾劣弧長；
（II）若點A（-2，0），B（2，0），直線PA，PB與圓O的另一個交點分別為M，N，求證：直線MN經過定點（1，0）．

Answer 1

解：根據題意，設P（4，t）．
（I）設兩切點為C，D，則OC⊥PC，OD⊥PD，
由題意可知|PO|²=|OC|²+|PC|²，即，（2分）
解得t=0，所以點P坐標為（4，0）．（3分）
在Rt△POC中，易得∠POC=60°，所以∠DOC=120°．（4分）
所以兩切線所夾劣弧長為．（5分）
（II）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（1，0），
依題意，直線PA經過點A（-2，0），P（4，t），
可以設，（6分）
和圓x²+y²=4聯立，得到，
代入消元得到，（t²+36）x²+4t²x+4t²-144=0，（7分）
因為直線AP經過點A（-2，0），M（x₁，y₁），所以-2，x₁是方程的兩個根，
所以有，，（8分）
代入直線方程得，．（9分）
同理，設，聯立方程有，
代入消元得到（4+t²）x²-4t²x+4t²-16=0，
因為直線BP經過點B（2，0），N（x₂，y₂），所以2，x₂是方程的兩個根，，，
代入得到．（11分）
若x₁=1，則t²=12，此時
顯然M，Q，N三點在直線x=1上，即直線MN經過定點Q（1，0）（12分）
若x₁≠1，則t²≠12，x₂≠1，
所以有，（13分）
所以k_MQ=k_NQ，所以M，N，Q三點共線，
即直線MN經過定點Q（1，0）．
綜上所述，直線MN經過定點Q（1，0）．（14分）
分析：根據題意，設P（4，t）．
（I）設兩切點為C，D，則OC⊥PC，OD⊥PD，由題意可知|PO|²=|OC|²+|PC|²，即，解得t=0，所以點P坐標為（4，0），由此能夠求出兩切線所夾劣弧長．
（II）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（1，0），依題意，直線PA經過點A（-2，0），P（4，t），可以設，和圓x²+y²=4聯立，代入消元得到，（t²+36）x²+4t²x+4t²-144=0，因為直線AP經過點A（-2，0），M（x₁，y₁），所以-2，x₁是方程的兩個根，然后由根與系數的關系進行求解．
點評：本題考查直線和圓的位置關系，具有一定的難度，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，仔細解答．