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【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，兩個頂點分別為，．過點的直線交橢圓于，兩點，直線與的交點為．

(1)求橢圓的標準方程；

(2)求證：點在一條定直線上．

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）由已知得a=2．e==，由此能求出a，b；

（2）設直線A1M的方程為y=k1（x+2），直線A2N的方程為y=k2（x﹣2）．聯立方程組，得點M的坐標為（，），同理，點N（，）．由M，D，N三點共線，得k2=3k1，由此能證明點G恒在定直線x=4上．

(1)由橢圓兩個頂點分別為，題設可知

因為，即，所以．

又因為，所以．

所以，所求的橢圓的標準方程為.

(2)由題意知，直線與直線的斜率存在，故設直線的方程為，直線的方程為．

聯立方程組，消去y得，

解得點．同理，解得點.

由M，D，N三點共線，有，化簡得．

由題設可知與同號，所以．

聯立方程組，解得交點．將代入點G的橫坐標，

得．所以，點G恒在定直線上．

練習冊系列答案

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C.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
D.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2