Question

 (本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無效)

如圖，四棱錐中， ∥,，側面為等邊三角形. .

(I) 證明：

(II)    求AB與平面SBC所成角的大小。

 

 

Answer 1

【答案】

 

【分析】第（I）問的證明的突破口是利用等邊三角形SAB這個條件，找出AB的中點E，連結SE，DE，就做出了解決這個問題的關鍵輔助線。

(II)本題直接找線面角不易找出，要找到與AB平行的其它線進行轉移求解。

【命題意圖】以四棱錐為載體考查線面垂直證明和線面角的計算，注重與平面幾何的綜合.

解法一：(Ⅰ)取中點，連結，則四邊形為矩形，，連結，則，.

又,故,

所以為直角.     ………………3分

由,,,得平面,所以.

與兩條相交直線、都垂直.

所以平面.                                 ………………6分

另解:由已知易求得,于是.可知,同理可得,又.所以平面.   ………………6分

(Ⅱ)由平面知，平面平面.

作,垂足為,則平面ABCD,.

作,垂足為,則.

連結.則.

又,故平面,平面平面.……9分

作,為垂足,則平面.

,即到平面的距離為.

由于,所以平面,到平面的距離也為.

設與平面所成的角為,則,.……12分

解法二：以為原點,射線為軸的正半軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.

設,則、.

又設,則.

(Ⅰ),

由得

,

故.

由得,

又由得,

即,故.                 ………………3分

于是,

.

故,又,

所以平面.                                  ………………6分

(Ⅱ)設平面的法向量,

則.

又,

故                                 ………………9分

取得,又

.

故與平面所成的角為.                ………………12分