Question

若x=

π

6

是f(x)=

3

sinωx+cosωx，(ω＞0）圖象的一條對稱軸，當ω取最小值時（　�。�

• A．f（x） 在(0，

  π

  3

  )上單調遞增
• B．f（x） 在(-

  π

  3

  ，

  π

  6

  )上單調遞減
• C．f（x） 在(0，

  π

  3

  )上單調遞減
• D．f（x） 在(-

  π

  3

  ，

  π

  6

  )上單調遞增

Answer 1

分析：由于f（x）=2sin（ωx+

π

6

），利用

π

6

ω+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z）可求得ω的最小值，從而可得答案．

解答：解：∵f（x）=

3

sinωx+cosωx=2sin（ωx+

π

6

），
∵x=

π

6

是f（x）的圖象的一條對稱軸，
∴

π

6

ω+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），
∴ω=6k+2，又ω＞0，
∴ω_min=2．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∴當2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

π

6

（k∈Z）時單調遞增，
當2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

即kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z）時單調遞減，
顯然，當k=0時，f（x）在[-

π

3

，

π

6

]上單調遞增，在[

π

6

，

2π

3

]上單調遞減，故D正確，A，B，C均錯誤．
故選D．

點評：本題考查兩角和與差的三角函數的性質，考查正弦函數的性質，求得ω的最小值是關鍵，也是難點，屬于中檔題．