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若函數f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數,且對一切x>0,y>0,滿足f(
x
y
)=f(x)-f(y)
,則不等式f(x+6)-f(
1
x
)<2f(4)
的解為(  )
分析:采用賦值法求出f(1)的值;且根據f(
x
y
)=f(x)-f(y),得到f(x)+f(y)=f(x•y),將所求不等式變形,再根據函數的單調性將原不等式轉化為一元二次不等式,求出一元二次不等式的解集即可.
解答:解:∵對一切x>0,y>0滿足f(
x
y
)=f(x)-f(y),
∴對一切x>0,y>0滿足f(x)+f(y)=f(x•y),且f(1)=0,
∴f(x+6)-f(
1
x
)<2f(4)變形為:f(x+6)+f(x)<f(16),
即f[x(x+6)]<f(16),又函數f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數,
∴x(x+6)<16,即(x-2)(x+8)<0,
解得:-8<x<2,又x>0,
則所求不等式的解集為(0,2).
故選C
點評:此題考查了其他不等式的解法,利用了賦值法,賦值法是解決抽象函數常用的方法.抽象函數是以具體函數為背景的,“任意x>0,y>0時,f(x)+f(y)=f(x•y)”的背景函數是f(x)=logax(a>0),我們可以構造背景函數來幫助分析解題思路.
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(-∞,-3)∪(0,3)

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