Question

已知直線l的參數(shù)方程為

x=t y= 2 + 3 t

(t為參數(shù))，若以直角坐標系xoy的原點O點為極點，以x軸正半軸為極軸，選取相同的長度單位建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=2sin(θ+

π

4

)，若直線l與曲線C交于A、B兩點．
（I）求直線l的傾斜角及l(fā)與坐標軸所圍成的三角形的面積；
（II）求|AB|．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)直線l的參數(shù)方程用代入法消去參數(shù)t化為普通方程為 y=

3

x+

2

，根據(jù)直線的斜率求出傾斜角 α 的值．求得直線l與坐標軸的交點的坐標，即可求得 l與坐標軸所圍成的三角形的面積．
（II）把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，把直線l的參數(shù)方程代入，求出參數(shù)t的值，可得A、B兩點的坐標，利用兩點間的距離公式求得|AB|的值．

解答：解：（I）∵直線l的參數(shù)方程為

x=t y= 2 + 3 t

(t為參數(shù))，用代入法消去參數(shù)t化為普通方程為 y=

3

x+

2

．
設(shè)傾斜角等于α，則 0≤α＜π，tanα=

3

，∴α=

π

3

．
求得直線l與坐標軸的交點的坐標分別為A（-

6

3

，0），B（0，

2

），∴l(xiāng)與坐標軸所圍成的三角形的面積S_△OAB=

1

2

×OA×OB=

1

2

×

6

3

×

2

=

3

3

．
（II）∵曲線C的極坐標方程為ρ=2sin(θ+

π

4

)=

2

sinθ+

2

cosθ，∴ρ²=

2

ρsinθ+

2

ρcosθ，
即 x²+y²=

2

x+

2

y．
把

x=t y= 2 + 3 t

(t為參數(shù))代入可得t²+(

2

+

3

t)2=

2

（

2

+

3

 t），解得 t₁=0，t₂=

2 - 6

4

．
∴A（0，

2

），B（

2 - 6

4

，

2

+

6 -3 2

4

），故|AB|=

6 - 2

2

．

點評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．