Question

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)在拋物線y=2x²上，l是AB的垂直平分線，
（Ⅰ）當(dāng)且僅當(dāng)x₁+x₂取何值時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）當(dāng)x₁=1，x₂=-3時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由拋物線y=2x²，得出其焦點(diǎn)．下面分類討論：（1）直線l的斜率不存在時，（2）直線l的斜率存在時，分別求解當(dāng)x₁+x₂取何值時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F即可；
（Ⅱ）設(shè)為l：y=kx+b，則由（Ⅰ）得關(guān)于k，b的方程組，解此方程組即可得直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）∵拋物線y=2x²，即，∴，
∴焦點(diǎn)為（1分）
（1）直線l的斜率不存在時，顯然有x₁+x₂=0（3分）
（2）直線l的斜率存在時，設(shè)為k，截距為b
即直線l：y=kx+b
由已知得：（5分）（7分）
即l的斜率存在時，不可能經(jīng)過焦點(diǎn)（8分）
所以當(dāng)且僅當(dāng)x₁+x₂=0時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F（9分）
（Ⅱ）當(dāng)x₁=1，x₂=-3時，
直線l的斜率顯然存在，設(shè)為l：y=kx+b（10分）
則由（Ⅰ）得：（11分）（13分）
所以直線l的方程為，即x-4y+41=0（14分）
點(diǎn)評：本小題主要考查直線的一般式方程、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．