Question

在如圖所示的四棱錐P-ABCD中，已知 PA⊥平面ABCD，AB∥DC，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M為PB的中點．
（Ⅰ）求證：MC∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直線MC與平面PAC所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取PA的中點E，連接ME，DE，證明四邊形DCME為平行四邊形，可得MC∥DE，利用線面平行的判定，可得MC∥平面PAD；
（Ⅱ）證明BC⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，可得平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅲ）取PC中點N，則可得∠MCN為直線MC與平面PAC所成角，從而可求直線MC與平面PAC所成角的余弦值．
解答：（Ⅰ）證明：如圖，取PA的中點E，連接ME，DE，∵M為PB的中點，
∴EM∥AB，且EM=AB．
又∵AB∥DC，且DC=AB，
∴EM∥DC，且EM=DC
∴四邊形DCME為平行四邊形，∴MC∥DE，
又MC?平面PAD，DE?平面PAD
所以MC∥平面PAD 
（Ⅱ）證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
又AC²+BC²=2+2=AB²，∴BC⊥平面PAC，
又BC?平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅲ）解：取PC中點N，則MN∥BC
由（Ⅱ）知BC⊥平面PAC，則MN⊥平面PAC
所以∠MCN為直線MC與平面PAC所成角，
∵NC=PC=，MC=PB=，
∴cos∠MCN==．
點評：本題考查線面平行，考查面面垂直，考查線面角，考查學生的計算能力，掌握線面平行，面面垂直的判定，正確作出線面角是關鍵．