Question

在如圖所示的四棱錐P-ABCD中，已知 PA⊥平面ABCD，AB∥DC，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M為PB的中點．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（2）求二面角A-PB-C的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）取AB的中點H，連接CH，通過證明BC⊥平面PAC，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面PAC平面PBC；
（2）取AB的中點H，連接CH，推出CH⊥PB，過H作HG⊥PB于G，連接CG，說明PB⊥平面CGH，說明∠CGH為二面角A-PB-C的平面角，然后求解二面角A-PB-C的平面角的正切值．

解答：解：（1）取AB的中點H，連接CH，則CH⊥AB
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，∵AB∥DC，∠DAB=90°，
∴AC=BC=

2

．
又AC²+BC²=2+2=AB²，∴AC⊥BC，
∴BC⊥平面PAC，∵BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC…．（7分）
（2）取AB的中點H，連接CH，則由題意得
CH⊥AB，又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CH，
則CH⊥平面PAB．所以CH⊥PB，過H作HG⊥PB于G，連接CG，則PB⊥平面CGH，
所以CG⊥PB，則∠CGH為二面角A-PB-C的平面角…（10分） 
∵PA=1，∴CH=1，AB=2，PB=

PA2+AB2

=

5

則GH=BHsin∠PBA=BH•

PA

AB

=

1

5

，
∴tan∠CGH=

CH

GH

=

5

…（13分）
故二面角A-PB-C的平面角的正切值為

5

…（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直平面與平面垂直的判定定理的應用，二面角的求法，考查邏輯推理能力與計算能力．