Question

（2011•朝陽區二模）已知函數f（x）=e^x-ax，a∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當x∈[0，+∞）時，都有f（x）≥0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導，結合函數的定義域，對參數a進行討論，利用導數大于0得函數的單調增區間，導數小于0得函數的單調減區間；
（Ⅱ）當x=0時，f（x）=1≥0成立；當x∈（0，+∞）時，f（x）=e^x-ax≥0成立，分離參數可得a≤

ex

x

成立．只需要求右邊函數的最小值即可，構建函數g(x)=

ex

x

，求導確定函數的單調區間，從而可得函數的最小值，由此可求參數a的范圍

解答：解：（Ⅰ） f（x）的定義域是（-∞，+∞），f′（x）=e^x-a．…2分
（1）當a≤0時，f'（x）＞0成立，f（x）的單調增區間為（-∞，+∞）；  …3分
（2）當a＞0時，
令f'（x）＞0，得x＞lna，則f（x）的單調增區間是（lna，+∞）．…4分
令f'（x）＜0，得x＜lna，則f（x）的單調減區間是（-∞，lna）．…5分
綜上所述，當a≤0時，f（x）的單調增區間為（-∞，+∞）；當a＞0時，f（x）的單調增區間是（lna，+∞），單調減區間是（-∞，lna）…6分
（Ⅱ）當x=0時，f（x）=1≥0成立，a∈R．…7分
當x∈（0，+∞）時，f（x）=e^x-ax≥0成立，即x＞0 時，a≤

ex

x

成立．
設g(x)=

ex

x

，…9分
所以g′(x)=

xex-ex

x2

=

(x-1)ex

x2

．…10分
當x∈（0，1）時，g'（x）＜0，函數g（x）在（0，1）上為減函數；    …11分
x∈（1，+∞）時，g'（x）＞0，函數g（x）在x∈（1，+∞）上為增函數．…12分
則g（x）在x=1處取得最小值，g（1）=e．則a≤e．
綜上所述，x∈[0，+∞）時，f（x）≥0成立的a的范圍是（-∞，e]．…13分

點評：本題以函數為載體，考查函數的單調性，考查不等式恒成立問題，考查化歸轉化思想和分類討論思想，解題的關鍵是利用導數大于0，確定單調增區間，導數小于0，確定單調減區間，注意分離參數法在解決恒成立問題中的運用．