Question

（2011•朝陽(yáng)區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+（x-a）²，a∈R．
（Ⅰ）若a=0，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上存在單調(diào)遞增區(qū)間，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">f′(x)=

1

x

+2x＞0，所以f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，由此能求出f（x）在[1，e]上的最小值．
（Ⅱ）法一：f′(x)=

1

x

+2(x-a)=

2x2-2ax+1

x

，設(shè)g（x）=2x²-2ax+1，則在區(qū)間[

1

2

，2]上存在子區(qū)間使得不等式g（x）＞0成立．由拋物線g（x）=2x²-2ax+1開(kāi)口向上，所以只要g（2）＞0，或g(

1

2

)＞0即可．由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
法二：f′(x)=

1

x

+2(x-a)=

2x2-2ax+1

x

，則在區(qū)間[

1

2

，2]上存在子區(qū)間使不等式2x²-2ax+1＞0成立．因?yàn)閤＞0，所以2a＜(2x+

1

x

)．設(shè)g（x）=2x+

1

x

，所以2a小于函數(shù)g（x）在區(qū)間[

1

2

，2]的最大值．由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">f′(x)=

2x2-2ax+1

x

，令h（x）=2x²-2ax+1．由a≤0，a＞0及判別式△的符號(hào)分別進(jìn)行討論，求解函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．…（1分）
因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">f′(x)=

1

x

+2x＞0，
所以f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值f（1）=1．
所以f（x）在[1，e]上的最小值為1．…（3分）
（Ⅱ）解法一：f′(x)=

1

x

+2(x-a)=

2x2-2ax+1

x

設(shè)g（x）=2x²-2ax+1，…（4分）
依題意，在區(qū)間[

1

2

，2]上存在子區(qū)間使得不等式g（x）＞0成立．…（5分）
注意到拋物線g（x）=2x²-2ax+1開(kāi)口向上，
所以只要g（2）＞0，或g(

1

2

)＞0即可．…（6分）
由g（2）＞0，即8-4a+1＞0，得a＜

9

4

，
由g(

1

2

)＞0，即

1

2

-a+1＞0，得a＜

3

2

，
所以a＜

9

4

，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，

9

4

)．…（8分）
解法二：f′(x)=

1

x

+2(x-a)=

2x2-2ax+1

x

，…（4分）
依題意得，在區(qū)間[

1

2

，2]上存在子區(qū)間使不等式2x²-2ax+1＞0成立．
又因?yàn)閤＞0，所以2a＜(2x+

1

x

)．…（5分）
設(shè)g（x）=2x+

1

x

，所以2a小于函數(shù)g（x）在區(qū)間[

1

2

，2]的最大值．
又因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">g′(x)=2-

1

x2

，
由g′(x)=2-

1

x2

＞0，解得x＞

2

2

；
由g′(x)=2-

1

x2

＜0，解得0＜x＜

2

2

．
所以函數(shù)g（x）在區(qū)間(

2

2

，2)上遞增，在區(qū)間(

1

2

，   

2

2

)上遞減．
所以函數(shù)g（x）在x=

1

2

，或x=2處取得最大值．
又g(2)=

9

2

，g(

1

2

)=3，所以2a＜

9

2

，a＜

9

4

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，

9

4

)．…（8分）
（Ⅲ）因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">f′(x)=

2x2-2ax+1

x

，令h（x）=2x²-2ax+1
①顯然，當(dāng)a≤0時(shí)，在（0，+∞）上h（x）＞0恒成立，
這時(shí)f'（x）＞0，
此時(shí)，函數(shù)f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)；                     …（9分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，
（ⅰ）當(dāng)△≤0，即0＜a≤

2

時(shí)，
在（0，+∞）上h（x）≥0恒成立，
這時(shí)f'（x）≥0，
此時(shí)，函數(shù)f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)；        …（10分）
（ⅱ）當(dāng)△＞0，即a＞

2

時(shí)，
易知，當(dāng)

a- a2-2

2

＜x＜

a+ a2-2

2

時(shí)，
h（x）＜0，這時(shí)f'（x）＜0；
當(dāng)0＜x＜

a- a2-2

2

或x＞

a+ a2-2

2

時(shí)，
h（x）＞0，這時(shí)f'（x）＞0；
所以，當(dāng)a＞

2

時(shí)，x=

a- a2-2

2

是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)；
x=

a+ a2-2

2

是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)．…（12分）
綜上，當(dāng)a≤

2

時(shí)，函數(shù)f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)；
當(dāng)a＞

2

時(shí)，x=

a- a2-2

2

是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)；
x=

a+ a2-2

2

是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)最小值、實(shí)數(shù)取值范圍、函數(shù)極值的求法，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易錯(cuò)點(diǎn)是分類(lèi)不清導(dǎo)致出錯(cuò)，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類(lèi)討論思想的靈活運(yùn)用．