Question

設函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）當時，若恒成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）函數(shù)單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（2）.

【解析】

試題分析：(1)此類題目考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，解法是：求函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)大于零，解得單調增區(qū)間（注意函數(shù)的定義域），令導數(shù)小于零，解得單調減區(qū)間（注意定義域）；（2）先將不等式在恒成立問題轉化為在恒成立問題，然后可用兩種方法求出參數(shù)的范圍，法一是：令，通過導數(shù)求出該函數(shù)的最小值，由這個最小值大于或等于0即可解出的取值范圍（注意題中所給的）；法二是：先分離參數(shù)得，再令，只須求出該函數(shù)的最小值，從而，同時結合題中所給的范圍可得參數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為 1分

2分

當時，，為增函數(shù)

當時，，為減函數(shù)

當時，，為增函數(shù)

所以，函數(shù)單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為 5分

（2）因為，

所以

即

法一：令 7分

所以

因為在時是增函數(shù) 8分

所以 9分

又因為，所以， 10分

所以在為增函數(shù)

要使恒成立，只需 11分

所以 12分

法二：因為，所以

6

令 7分

8分

因為，所以 9分

因此時，，那么在上為增函數(shù) 10分

所以

所以 12分．

考點：1.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；2.利用導數(shù)求函數(shù)的最值；3.一元二次不等式的解法.