Question

已知α∈R，函數f（x）=

1

12

x3+

a+1

2

x2+(5a+1)x，若y=f′（x）是偶函數，求f（x）在[0，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：求出原函數的導函數，由導函數是偶函數求出a的值，然后利用導數求f（x）在[0，6]上的最大值和最小值．

解答：解：∵f（x）=

1

12

x3+

a+1

2

x2+(5a+1)x，
∴f′（x）=

1

4

x2+(a+1)x+(5a+1)，
由f′（x）是偶函數得，a+1=0，解得：a=-1．
∴f′（x）=

1

4

x2-4=

1

4

(x-4)(x+4)．
∴當x∈[0，6]，f（x）與f′（x）關系如下表：

x	[0，4]	4	[4，6]
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小	↑

∴當x=4時，f（x）取最小值f（4）=

1

12

×4³+4×（-4）=

16

3

-16=-

32

3

．
∵f（0）=0，f（6）=

1

12

×6³+6×（-4）=18-24=-6＜0，
∴x=0時，f（x）取最大值為0．

點評：本題考查了導數的運算性質，考查了函數的奇偶性，訓練了利用導數求函數在閉區間上的最值，是中高檔題．