Question

已知函數f（x）=

1-x

ax

+lnx
（Ⅰ）若函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，求正實數a的取值范圍；
（Ⅱ）設a＞1，b＞0，求證：

1

a+b

＜ln

a+b

b

＜

a+b

b

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，則有f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，進而可轉化為函數的最值問題解決；
（Ⅱ）根據f（x）在[1，+∞）上為增函數，可得f（

a+b

b

）＞f（1），從而可證明

1

a+b

＜ln

a+b

b

；構造函數g（x）=x-lnx（x＞1），易判g（x）在（1，+∞）上是增函數，可得x＞1時g（x）＞g（1），由此可證明ln

a+b

b

＜

a+b

b

．

解答：（Ⅰ）解：f′(x)=

ax-1

ax2

，a＞0，
因為函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，所以f′(x)=

ax-1

ax2

≥0對x∈[1，+∞）恒成立，
即：ax-1≥0對x∈[1，+∞）恒成立，亦即a≥

1

x

對x∈[1，+∞）恒成立，
a≥(

1

x

)max=1，即a≥1．
故正實數a的取值范圍是[1，+∞）．
（Ⅱ）證明：一方面，由（1）知，f(x)=

1-x

ax

+lnx在[1，+∞）上是增函數，
所以f(

a+b

b

)＞f(1)=0，即

1- a+b b

a• a+b b

+ln

a+b

b

＞0，即ln

a+b

b

＞

1

a+b

．
另一方面，設函數g（x）=x-lnx（x＞1），g′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

＞0（x＞1），
所以g（x）在（1，+∞）上是增函數，
又g（1）=1＞0，當x＞1時，g（x）＞g（1）＞0，所以x＞lnx，則ln

a+b

b

＜

a+b

b

．
綜上，

1

a+b

＜ln

a+b

b

＜

a+b

b

．

點評：本題考查導數與函數單調性的關系以及應用導數證明不等式問題．f′（x）≥0（不恒為0）是可導函數f（x）在某區間上遞增的充要條件．