Question

【題目】已知拋物線：的焦點為，直線與拋物線交于，兩點.

（1）若過點，證明：；

（2）若，點在曲線上，，的中點均在拋物線上，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）易知，設，，由題意可知，直線的斜率存在，故設其方程為，聯立直線與拋物線方程得到關于的一元二次方程，利用韋達定理求出的表達式，代入直線方程得到的表達式，利用拋物線的焦點弦公式求出即可得證；

（2）由題意知，拋物線的方程為，設，，，則，的中點分別為，，由，的中點均在拋物線上，得到方程有兩個不同的實數根，利用韋達定理和判別式，結合三角形的面積公式和點在曲線上即可求解.

（1）證明：易知，設，，

由題意可知，直線的斜率存在，故設其方程為，

由，得，所以，

因為，

所以，

而，故.

（2）因為，所以拋物線的方程為，

設，，，則，的中點分別為，，因為，的中點均在拋物線上，

所以方程有兩個不同的實數根，

即方程有兩個不同的實數根，

則，，，即，

所以的中點的橫坐標為，則

，

即，

因為，所以的面積為，即，

由，得，

所以，

因為，所以，

所以面積的取值范圍為.