Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

1

2

，且過點(diǎn)P（1，

3

2

）．
（l）求橢圓C的方程；
（2）若斜率為1的直線l 與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△OAB的面積為

6 2

7

，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率e=

1

2

，且過點(diǎn)P（1，

3

2

），建立方程，求得幾何量，由此可得橢圓的方程；
（2）設(shè)出l的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，求得|AB|，求出O到直線l的距離，利用△OAB的面積為

6 2

7

，即可求l的方程．

解答：解：（1）由題意有：

c a = 1 2 1 a2 + 9 4 b2 =1 a2=b2+c2

，可求得：a=2，b=

3

，
所以，橢圓C的方程：

x2

4

+

y2

3

=1
（2）設(shè)直線l：y=x+n，由

y=x+n x2 4 + y2 3 =1

，消去y可得：7x²+8nx+4n²-12=0　　①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8n

7

，x₁x₂=

4n2-12

7

，
所以|AB|=

1+1

×

(- 8n 7 )2-4× 4n2-12 7

=

4 6

7

×

7-n2

又O到直線l的距離為d=

|n|

2

所以S△OAB=

1

2

×

2 |n|

2

×

4 6

7

7-n2

=

6 2

7

，
解得n=±1或n=±

6

，代入①式，△＞0，
所以直線l為：y=x±1或y=x±

6

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．