Question

如圖所示，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

2

2

，左焦點為F₁（-1，0），右焦點為F₂（1，0），短軸兩個端點為A、B．與x軸不垂直的直線l與橢圓C交于不同的兩點M、N，記直線AM、AN的斜率分別為k₁、k₂，且k1k2=

3

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證直線l與y軸相交于定點，并求出定點坐標．
（3）當弦MN的中點P落在△MF₁F₂內(nèi)（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值．

Answer 1

分析：（1）由焦點坐標可得c值，由離心率可得a值，據(jù)a，b，c關(guān)系可求得b；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+b，M、N坐標分別為 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達定理及斜率公式可用k，b表示出等式k1k2=

3

2

，由此可求得b值，進而可求得直線所過定點；
（3）由（2）中的一元二次方程可求得判別式大于0求得k的范圍，設(shè)弦AB的中點P坐標則可分別表示出x₀和y₀，易判斷p點在x軸上方，從而得一關(guān)于x₀，y₀的不等式組，將坐標代入，解出即可；

解答：解：（1）由題意可知：橢圓C的離心率e=

c

a

=

2

2

，c=1，∴b²=1，a²=2，
故橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+b，M、N坐標分別為 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

x2 2 +y2=1 y=kx+b

得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，
∴x1+x2=-

4kb

1+2k2

，x1•x2=

2b2-2

1+2k2

，
∵k1=

y1+1

x1

，k2=

y2+1

x2

．
∴k1•k2=

(kx1+1+b)

x1

•

(kx2+1+b)

x2

=

k2x1•x2+(1+b)k(x1+x2)+(1+b)2

x1•x2

=

3

2

，
將韋達定理代入，并整理得

2k2(b-1)-4k2b+(1+2k2)(b+1)

b-1

=3，解得b=2．
∴直線l與y軸相交于定點（0，2）；
（3）由（2）中（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=（1+2k²）x²+8kx+6=0，其判別式△＞0，得k2＞

3

2

．①
設(shè)弦AB的中點P坐標為（x₀，y₀），則x0=

-4k

1+2k2

，y0=kx0+2=

2

1+2k2

＞0，
∵弦MN的中點P落在△MF₁F₂內(nèi)（包括邊界），∴

y0≤x0+1 y0≤-x0+1

將坐標代入，整理得

2k2-4k-1≥0 2k2+4k-1≥0

解得

k≥1+ 6 2 或k≤1- 6 2 k≥-1+ 6 2 或k≤-1- 6 2

②，
由①②得所求范圍為k≥1+

6

2

或k≤-1-

6

2

；

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用和基礎(chǔ)知識的熟練掌握．